10. На рисунке трапеция ABCD с равными боковыми сторонами AB = CD; диагональ AC является биссектрисой угла BCD. P_ABCD = 27, AD − BC = 5. Найти BC и AD.

Равенство боковых сторон означает, что трапеция равнобедренная, поэтому углы при основании BC равны: ∠ABC = ∠BCD.

Поскольку AC — биссектриса угла BCD, ∠BCA = ∠ACD. Из BC ∥ AD следует ∠BCA = ∠CAD. Значит, ∠CAD = ∠ACD, и треугольник ACD равнобедренный: AD = CD.

Так как AB = CD, получаем AB = AD. Обозначим AB = CD = AD = x, а BC = y.

Из периметра: 3x + y = 27. Из условия разности: x − y = 5, то есть y = x − 5.

3x + x − 5 = 27, откуда 4x = 32 и x = 8. Тогда y = 3.

Ответ: BC = 3, AD = 8.