10. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли точки M и K так, что AM = CK, BM = BK. Докажите, что AK = CM.

1. Так как M лежит на AB, а K — на BC, имеем AB = AM + MB и BC = BK + KC.

2. По условию AM = CK и BM = BK, поэтому AB = BC.

3. Рассмотрим треугольники ABK и CBM. В них AB = CB, BK = BM, а углы ABK и CBM равны: оба совпадают с углом ABC.

4. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, соответствующие стороны равны: AK = CM.