11. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли точки D и E так, что BD = BE, а угол ADC равен углу AEC. Докажите, что AE = CD.

1. Из равенства ∠ADC = ∠AEC следует, что точки A, D, C и E лежат на одной окружности: равные вписанные углы опираются на одну хорду AC.

2. По теореме о секущих, проведённых из точки B: BA · BD = BC · BE. Так как BD = BE, получаем BA = BC.

3. Рассмотрим треугольники BAE и BCD. Имеем BA = BC, BE = BD, а углы ABE и CBD равны, поскольку оба образованы прямыми AB и BC.

4. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AE = CD.