10. Найдите корень уравнения log6 (-3x-15) = log(x+8) +1.

Привет! Давай разберемся с этим логарифмическим уравнением.

Исходное уравнение:

• \[ \log_6(-3x-15) = \log_6(x+8) + 1 \]

Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ).

Аргументы логарифмов должны быть больше нуля:

• \[ -3x-15 > 0 \implies -3x > 15 \implies x < -5 \]
• \[ x+8 > 0 \implies x > -8 \]

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $$-8 < x < -5$$.

Шаг 2: Приведем правую часть к логарифму по основанию 6.

Мы знаем, что $$1 = \log_6 6$$. Подставим это в уравнение:

• \[ \log_6(-3x-15) = \log_6(x+8) + \log_6 6 \]

Шаг 3: Используем свойство логарифма $$\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$$.

• \[ \log_6(-3x-15) = \log_6((x+8) \cdot 6) \]
• \[ \log_6(-3x-15) = \log_6(6x+48) \]

Шаг 4: Приравниваем аргументы логарифмов.

Если логарифмы равны и основания одинаковые, то и аргументы равны:

• \[ -3x-15 = 6x+48 \]

Шаг 5: Решаем линейное уравнение.

• \[ -3x - 6x = 48 + 15 \]
• \[ -9x = 63 \]
• \[ x = \frac{63}{-9} \]
• \[ x = -7 \]

Шаг 6: Проверим, попадает ли найденное значение $$x$$ в ОДЗ.

Наше ОДЗ: $$-8 < x < -5$$. Значение $$x = -7$$ удовлетворяет этому условию, так как $$-8 < -7 < -5$$.

Ответ: $$-7$$