13. Найдите -4 sin 2a, если cos a = 1/√2, и π < α < 2π.

Привет! Давай найдем значение выражения $$-4 \sin(2\alpha)$$, зная значение $$\cos(\alpha)$$ и промежуток, в котором находится угол $$\alpha$$.

Дано:

• $$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
• $$\pi < \alpha < 2\pi$$

Найти: $$-4 \sin(2\alpha)$$

Шаг 1: Определим значение $$\sin(\alpha)$$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$.

• \[ \sin^2(\alpha) + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = 1 \]
• \[ \sin^2(\alpha) + \frac{1}{2} = 1 \]
• \[ \sin^2(\alpha) = 1 - \frac{1}{2} \]
• \[ \sin^2(\alpha) = \frac{1}{2} \]
• \[ \sin(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Теперь посмотрим на условие $$\pi < \alpha < 2\pi$$. Это означает, что угол $$\alpha$$ находится в III или IV координатной четверти. В этих четвертях синус отрицательный. Значит, $$\sin(\alpha) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$.

Шаг 2: Найдем значение $$\sin(2\alpha)$$.

Используем формулу двойного угла для синуса: $$\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$$.

• \[ \sin(2\alpha) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \]
• \[ \sin(2\alpha) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \]
• \[ \sin(2\alpha) = -1 \]

Шаг 3: Найдем значение искомого выражения $$-4 \sin(2\alpha)$$.

• \[ -4 \sin(2\alpha) = -4 \cdot (-1) \]
• \[ -4 \sin(2\alpha) = 4 \]

Ответ: 4