12. Найдите значение выражения log12 2.88 + log50 / log12.

Привет! Давай разберемся с этим логарифмическим выражением.

Исходное выражение:

• \[ \log_{12} 2.88 + \frac{\log 50}{\log 12} \]

Шаг 1: Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную.

$$2.88 = \frac{288}{100} = \frac{72}{25}$$

Теперь выражение выглядит так:

• \[ \log_{12} \frac{72}{25} + \frac{\log 50}{\log 12} \]

Шаг 2: Используем формулу смены основания логарифма.

Формула гласит: $$\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$$. В нашем случае $$c=10$$ (так как не указано основание, подразумевается десятичный логарифм), $$a=50$$, $$b=12$$. Следовательно:

• \[ \frac{\log 50}{\log 12} = \log_{12} 50 \]

Шаг 3: Подставим это обратно в выражение.

• \[ \log_{12} \frac{72}{25} + \log_{12} 50 \]

Шаг 4: Используем свойство логарифма $$\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$$.

• \[ \log_{12} \left( \frac{72}{25} \cdot 50 \right) \]

Шаг 5: Выполним умножение в аргументе логарифма.

• \[ \frac{72}{25} \cdot 50 = 72 \cdot \frac{50}{25} = 72 \cdot 2 = 144 \]

Теперь выражение стало:

• \[ \log_{12} 144 \]

Шаг 6: Вычислим значение логарифма.

Нам нужно найти такое число $$x$$, чтобы $$12^x = 144$$. Мы знаем, что $$12^2 = 144$$.

• \[ \log_{12} 144 = 2 \]

Ответ: 2