10. Найдите область определения функции f(x) = ((x² − 16)/x)^(1/8) + (x² − 2x − 8)^(−1/6).

Для первого слагаемого подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби — ненулевым:

\(\frac{x^2-16}{x}=\frac{(x-4)(x+4)}x\ge0,\quad x\ne0\).

По знакам множителей это выполняется при \(x\in[-4,0)\cup[4,+\infty)\).

Во втором слагаемом показатель отрицательный, а знаменатель степени 6 чётный. Поэтому основание должно быть строго положительным:

\(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)>0\), откуда \(x\in(-\infty,-2)\cup(4,+\infty)\).

Пересекаем условия двух слагаемых.

Ответ: \(D(f)=[-4,-2)\cup(4,+\infty)\).