10 Найдите sin 2a, если cos a = -3/√10, α ∈ (π/2; π).

Дано:

• $$ \cos \alpha = -\frac{3}{\sqrt{10}} $$
• $$ \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) $$ (альфа находится во второй четверти)

Найти: $$ \sin 2\alpha $$

Решение:

1. Найдем $$ \sin \alpha $$:

   Используем основное тригонометрическое тождество: $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$

   $$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $$

   $$ \sin^2 \alpha = 1 - \left( -\frac{3}{\sqrt{10}} \right)^2 $$

   $$ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{10} $$

   $$ \sin^2 \alpha = \frac{10}{10} - \frac{9}{10} $$

   $$ \sin^2 \alpha = \frac{1}{10} $$

   Так как $$ \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) $$, то есть альфа находится во второй четверти, где синус положителен, берем положительный корень:

   $$ \sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} $$

2. Найдем $$ \sin 2\alpha $$:

   Используем формулу двойного угла для синуса: $$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $$

   Подставляем найденные значения $$ \sin \alpha $$ и данное значение $$ \cos \alpha $$:

   $$ \sin 2\alpha = 2 \times \frac{1}{\sqrt{10}} \times \left( -\frac{3}{\sqrt{10}} \right) $$

   $$ \sin 2\alpha = 2 \times \left( -\frac{3}{(\sqrt{10})^2} \right) $$

   $$ \sin 2\alpha = 2 \times \left( -\frac{3}{10} \right) $$

   $$ \sin 2\alpha = -\frac{6}{10} $$

   Сокращаем дробь:

   $$ \sin 2\alpha = -\frac{3}{5} $$

Ответ: -3/5