10. Найдите sin 2а, если cosa = \(\sqrt{\frac{7}{8}}\), \(\alpha\in\left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)\).

Краткое пояснение:

Для нахождения $$\sin 2\alpha$$ нам понадобится формула двойного угла $$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$. Нам дано значение $$\cos\alpha$$. Чтобы найти $$\sin\alpha$$, мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$ и информацией о квадранте, в котором находится угол $$\alpha$$.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем знак $$\sin\alpha$$.
   Условие $$\alpha\in\left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$$ означает, что угол $$\alpha$$ находится в IV координатном четверти. В этой четверти синус отрицателен, а косинус положителен.
2. Шаг 2: Находим $$\sin\alpha$$ с помощью основного тригонометрического тождества.
   Основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$.
   Подставляем данное значение $$\cos\alpha = \sqrt{\frac{7}{8}}$$:
   \[ \sin^2\alpha + \left(\sqrt{\frac{7}{8}}\right)^2 = 1 \]
   \[ \sin^2\alpha + \frac{7}{8} = 1 \]
   \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{7}{8} \]
   \[ \sin^2\alpha = \frac{1}{8} \]
   Извлекаем квадратный корень:
   \[ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{8}} = \pm\frac{1}{\sqrt{8}} = \pm\frac{1}{2\sqrt{2}} \]
   Так как $$\alpha$$ в IV четверти, $$\sin\alpha$$ отрицателен:
   \[ \sin\alpha = -\frac{1}{2\sqrt{2}} \]
3. Шаг 3: Находим $$\sin 2\alpha$$ по формуле двойного угла.
   Формула двойного угла: $$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$.
   Подставляем найденные значения $$\sin\alpha$$ и данное значение $$\cos\alpha$$:
   \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{7}{8}}\right) \]
   \[ \sin 2\alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} \]
   \[ \sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}} \]
   \[ \sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{16}} \]
   \[ \sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4} \]

Ответ: $$-\frac{\sqrt{7}}{4}$$