10. Объем конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найти объем усеченного конуса, отсекаемого от данного конуса проведенной плоскостью.

Решение:

Пусть \(V\) — объем исходного конуса, \(V = 32\).

Пусть \(H\) — высота исходного конуса, \(R\) — радиус основания исходного конуса.

Объем конуса вычисляется по формуле: \(V = \frac{1}{3}\pi R^2 H\).

Плоскость, параллельная основанию и проходящая через середину высоты, делит исходный конус на два подобных конуса: верхний (меньший) и усеченный конус (нижний).

Высота верхнего конуса \(h = \frac{H}{2}\).

Так как конусы подобны, отношение их высот равно отношению их радиусов: \(\frac{h}{H} = \frac{r}{R}\), где \(r\) — радиус основания верхнего конуса.

\(\frac{\frac{H}{2}}{H} = \frac{r}{R} \implies \frac{1}{2} = \frac{r}{R} \implies r = \frac{R}{2}\).

Объем верхнего (меньшего) конуса \(v_{верхнего}\) равен:

\[ v_{верхнего} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 \left(\frac{H}{2}\right) = \frac{1}{3}\pi \frac{R^2}{4} \frac{H}{2} = \frac{1}{8} \left(\frac{1}{3}\pi R^2 H\right) = \frac{1}{8} V \]

Подставим значение \(V=32\):

\(v_{верхнего} = \frac{1}{8} · 32 = 4\).

Объем усеченного конуса равен разности объема исходного конуса и объема верхнего конуса:

\(V_{усеченного} = V - v_{верхнего}\)

\(V_{усеченного} = 32 - 4 = 28\).

Ответ: 28