10. Определите число точек пересечения графиков функций y = x³ и y = (k – 1)x для каждого значения числа k.

Решение:

Чтобы найти число точек пересечения графиков функций \( y = x^3 \) и \( y = (k - 1)x \), нужно решить уравнение:

\[ x^3 = (k - 1)x \]\[ x^3 - (k - 1)x = 0 \]\[ x(x^2 - (k - 1)) = 0 \]

Это уравнение имеет три решения:

1. \( x = 0 \) — всегда одно решение.
2. \( x^2 - (k - 1) = 0 \implies x^2 = k - 1 \)

Рассмотрим случаи для \( x^2 = k - 1 \):

• Случай 1: \( k - 1 < 0 \) (то есть \( k < 1 \)).

В этом случае уравнение \( x^2 = k - 1 \) не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Общее число решений уравнения \( x^3 - (k - 1)x = 0 \) равно 1 (только \( x = 0 \)).

• Случай 2: \( k - 1 = 0 \) (то есть \( k = 1 \)).

В этом случае уравнение \( x^2 = 0 \) имеет одно решение \( x = 0 \). Общее число решений уравнения \( x^3 - (k - 1)x = 0 \) равно 1 (только \( x = 0 \)).

• Случай 3: \( k - 1 > 0 \) (то есть \( k > 1 \)).

В этом случае уравнение \( x^2 = k - 1 \) имеет два действительных решения: \( x = \sqrt{k - 1} \) и \( x = -\sqrt{k - 1} \). Вместе с решением \( x = 0 \) мы получаем три различных решения.

Таким образом:

• Если \( k < 1 \) или \( k = 1 \), то есть \( k \le 1 \), число точек пересечения равно 1.
• Если \( k > 1 \), то число точек пересечения равно 3.

Ответ: 1 точка пересечения при \( k \le 1 \), 3 точки пересечения при \( k > 1 \).