9. Сравните значения выражений f(29 – 8√13) и g(4 + √13), если f(x) = √x, a g(x) = 3/x.

Решение:

Найдем значение выражения \( f(29 - 8\sqrt{13}) \):

\[ f(29 - 8\sqrt{13}) = \sqrt{29 - 8\sqrt{13}} \]

Преобразуем выражение под корнем, выделив полный квадрат. Ищем два числа \( a \) и \( b \) такие, что \( (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab} \).

Сравнивая \( 29 - 8\sqrt{13} \) с \( a + b - 2\sqrt{ab} \), получаем:

• \( a + b = 29 \)
• \( 2\sqrt{ab} = 8\sqrt{13} \implies \sqrt{ab} = 4\sqrt{13} \implies ab = (4\sqrt{13})^2 = 16 \cdot 13 = 208 \)

Подбираем числа: \( 208 = 16 \cdot 13 \). Сумма \( 16 + 13 = 29 \). Значит, \( a = 16 \) и \( b = 13 \) (или наоборот).

\[ \sqrt{29 - 8\sqrt{13}} = \sqrt{(\sqrt{16} - \sqrt{13})^2} = \sqrt{(4 - \sqrt{13})^2} = |4 - \sqrt{13}| \]

Так как \( \sqrt{13} \) примерно равно 3.6, то \( 4 - \sqrt{13} > 0 \). Следовательно, \( |4 - \sqrt{13}| = 4 - \sqrt{13} \).

Теперь найдем значение выражения \( g(4 + \sqrt{13}) \):

\[ g(4 + \sqrt{13}) = \frac{3}{4 + \sqrt{13}} \]

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 4 - \sqrt{13} \):

\[ g(4 + \sqrt{13}) = \frac{3(4 - \sqrt{13})}{(4 + \sqrt{13})(4 - \sqrt{13})} = \frac{3(4 - \sqrt{13})}{4^2 - (\sqrt{13})^2} = \frac{3(4 - \sqrt{13})}{16 - 13} = \frac{3(4 - \sqrt{13})}{3} = 4 - \sqrt{13} \]

Мы получили, что \( f(29 - 8\sqrt{13}) = 4 - \sqrt{13} \) и \( g(4 + \sqrt{13}) = 4 - \sqrt{13} \).

Следовательно, значения выражений равны.

Ответ: значения выражений равны.