10. Определите знак выражения 2/9 x₁ - x₂, где x₁, x₂ — корни уравнения (5 - 2√6)x² - 10x + 9(5 + 2√6) = 0 и x₁ > x₂.

Решение:

Дано квадратное уравнение \( (5 - 2\sqrt{6})x^2 - 10x + 9(5 + 2\sqrt{6}) = 0 \). Пусть \( a = 5 - 2\sqrt{6} \), \( b = -10 \), \( c = 9(5 + 2\sqrt{6}) \).

По теореме Виета для корней \( x_1 \) и \( x_2 \) справедливы равенства:

Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{5 - 2\sqrt{6}} = \frac{10}{5 - 2\sqrt{6}} \).

Произведение корней: \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{9(5 + 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}} \).

Нам нужно определить знак выражения \( \frac{2}{9}x_1 - x_2 \).

Сначала найдем значение \( x_1 x_2 \).

\( x_1 x_2 = \frac{9(5 + 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}} \). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение \( 5 + 2\sqrt{6} \):

\( x_1 x_2 = \frac{9(5 + 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})}{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})} = \frac{9(5 + 2\sqrt{6})^2}{5^2 - (2\sqrt{6})^2} = \frac{9(25 + 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{6} + (2\sqrt{6})^2)}{25 - 4 · 6} = \frac{9(25 + 20\sqrt{6} + 24)}{25 - 24} = \frac{9(49 + 20\sqrt{6})}{1} = 9(49 + 20\sqrt{6}) \).

Так как \( 49 + 20\sqrt{6} > 0 \), то \( x_1 x_2 > 0 \). Это значит, что корни \( x_1 \) и \( x_2 \) имеют одинаковый знак.

Теперь найдем сумму корней \( x_1 + x_2 \):

\( x_1 + x_2 = \frac{10}{5 - 2\sqrt{6}} \). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное \( 5 + 2\sqrt{6} \):

\( x_1 + x_2 = \frac{10(5 + 2\sqrt{6})}{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})} = \frac{10(5 + 2\sqrt{6})}{25 - 24} = 10(5 + 2\sqrt{6}) \).

Так как \( 10(5 + 2\sqrt{6}) > 0 \), сумма корней положительна. Поскольку корни имеют одинаковый знак и их сумма положительна, то оба корня положительны: \( x_1 > 0 \) и \( x_2 > 0 \).

Нам известно, что \( x_1 > x_2 \).

Рассмотрим выражение \( \frac{2}{9}x_1 - x_2 \).

Попробуем найти точные значения корней. Для этого сначала найдем дискриминант.

\( D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(5 - 2\sqrt{6}) · 9(5 + 2\sqrt{6}) = 100 - 36(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6}) = 100 - 36(25 - 24) = 100 - 36(1) = 64 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{64} = 8 \).

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 8}{2(5 - 2\sqrt{6})} = \frac{18}{2(5 - 2\sqrt{6})} = \frac{9}{5 - 2\sqrt{6}} \).

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 8}{2(5 - 2\sqrt{6})} = \frac{2}{2(5 - 2\sqrt{6})} = \frac{1}{5 - 2\sqrt{6}} \).

Теперь вычислим \( x_1 \) и \( x_2 \) более удобно:

\( x_1 = \frac{9(5 + 2\sqrt{6})}{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})} = \frac{9(5 + 2\sqrt{6})}{1} = 45 + 18\sqrt{6} \).

\( x_2 = \frac{1(5 + 2\sqrt{6})}{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})} = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{1} = 5 + 2\sqrt{6} \).

Проверим условие \( x_1 > x_2 \): \( 45 + 18\sqrt{6} > 5 + 2\sqrt{6} \), что верно.

Теперь вычислим знак выражения \( \frac{2}{9}x_1 - x_2 \):

\( \frac{2}{9}x_1 - x_2 = \frac{2}{9}(45 + 18\sqrt{6}) - (5 + 2\sqrt{6}) \)

\( = \frac{2 \cdot 45}{9} + \frac{2 · 18\sqrt{6}}{9} - 5 - 2\sqrt{6} \)

\( = 2 · 5 + 2 · 2\sqrt{6} - 5 - 2\sqrt{6} \)

\( = 10 + 4\sqrt{6} - 5 - 2\sqrt{6} \)

\( = (10 - 5) + (4\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) \)

\( = 5 + 2\sqrt{6} \).

Поскольку \( 5 + 2\sqrt{6} > 0 \), то знак выражения положительный.

Ответ: знак выражения положительный.