9. Окружности с радиусами 9 см и 16 см касаются внешним образом. Найдите отрезок общей внешней касательной, заключенный между точками касания.

Решение:

Пусть \( r_1 = 9 \) см и \( r_2 = 16 \) см — радиусы окружностей. \( O_1 \) и \( O_2 \) — центры окружностей. \( AB \) — отрезок общей внешней касательной, где \( A \) и \( B \) — точки касания.

Расстояние между центрами окружностей \( O_1O_2 = r_1 + r_2 = 9 + 16 = 25 \) см.

Проведем из центра меньшей окружности \( O_1 \) прямую, параллельную касательной \( AB \), до пересечения с радиусом \( O_2B \) в точке \( C \).

Получится прямоугольник \( ACO_1B \) и прямоугольный треугольник \( O_1CO_2 \).

В прямоугольнике \( ACO_1B \): \( AC = O_1B = r_2 = 16 \) см, \( AB = O_1C \).

В прямоугольном треугольнике \( O_1CO_2 \): \( O_1O_2 = 25 \) см, \( O_2C = O_2B - CB = O_2B - O_1A = r_2 - r_1 = 16 - 9 = 7 \) см.

По теореме Пифагора найдём \( O_1C \): \( O_1C^2 = O_1O_2^2 - O_2C^2 \) \( O_1C^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576 \) \( O_1C = \sqrt{576} = 24 \) см.

Так как \( AB = O_1C \), то \( AB = 24 \) см.

Ответ: 24 см.