10. Основание пирамиды — правильный треугольник. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом β = arctg 2. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 3 см.

Решение:

1. Геометрическая конфигурация:

Основание пирамиды — правильный треугольник (обозначим его \( ABC \)). Высота пирамиды \( H = 3 \) см. Две боковые грани (например, \( ABM \) и \( BCM \), где \( M \) — вершина пирамиды) перпендикулярны к плоскости основания.

2. Определение апофемы и ее длины:

Так как две грани перпендикулярны к основанию, то ребро, общее для этих граней (ребро \( BM \)), будет высотой для этих граней. Это означает, что \( BM \) перпендикулярно \( AB \) и \( BC \).

Третья грань \( ACM \) наклонена к основанию под углом \( \beta = \text{arctg } 2 \).

Для нахождения угла наклона грани к основанию, нужно провести высоту из вершины \( M \) на основание \( ABC \). Пусть эта высота \( MO \), где \( O \) — точка в основании. Так как две грани перпендикулярны к основанию, то точка \( O \) должна лежать на пересечении высот или медиан основания. В случае правильного треугольника, \( O \) — это центр треугольника (точка пересечения медиан, высот, биссектрис).

Угол наклона грани \( ACM \) к основанию \( ABC \) — это угол между плоскостью \( ACM \) и плоскостью \( ABC \). Этот угол равен углу между высотой грани \( AO_1 \) (где \( O_1 \) — середина \( AC \)) и высотой пирамиды \( MO \), при условии, что \( AO_1 \) перпендикулярно \( MO \). Угол \( \angle MOA \) равен \( \beta = \text{arctg } 2 \).

Длина высоты грани \( AO_1 \) (апофемы основания) для правильного треугольника со стороной \( a \) равна \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

В прямоугольном треугольнике \( \Delta MOA \) (где \( MO \) — высота пирамиды, \( AO \) — отрезок от центра до вершины основания, \( MA \) — боковое ребро), мы имеем:

\( \text{tg } \beta = \frac{MO}{AO} \)

Нам дана высота пирамиды \( MO = H = 3 \) см и \( \beta = \text{arctg } 2 \), что означает \( \text{tg } \beta = 2 \).

\( 2 = \frac{3}{AO} \) \(\Rightarrow\) \( AO = \frac{3}{2} \) см.

\( AO \) — это отрезок от центра правильного треугольника до его вершины. Для правильного треугольника со стороной \( a \), \( AO = \frac{a\sqrt{3}}{3} \).

\( \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{2} \) \(\Rightarrow\) \( a\sqrt{3} = \frac{9}{2} \) \(\Rightarrow\) \( a = \frac{9}{2\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \) см.

3. Вычисление объема пирамиды:

Объем пирамиды находится по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \times H \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( H \) — высота пирамиды.

Площадь правильного треугольника со стороной \( a \) равна \( S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).

Подставим найденное значение \( a \):

\( S_{осн} = \frac{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{9 \times 3}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{27}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{16} \) см².

Теперь вычислим объем:

\( V = \frac{1}{3} \times \frac{27\sqrt{3}}{16} \times 3 = \frac{27\sqrt{3}}{16} \) см³.

Ответ: \(\frac{27\sqrt{3}}{16}\) см³.