4. Решите уравнение lg(x²-6)-lgx=0.

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

\( x^2 - 6 > 0 \) и \( x > 0 \).

Из \( x^2 > 6 \) следует \( x > \sqrt{6} \) или \( x < -\sqrt{6} \).

Учитывая \( x > 0 \), ОДЗ: \( x > \sqrt{6} \).

Перепишем уравнение:

\( \lg(x^2 - 6) = \lg x \)

Так как основания логарифмов равны, приравняем аргументы:

\( x^2 - 6 = x \)

\( x^2 - x - 6 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \).

\( x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \)

Проверим ОДЗ: \( x = 3 \) удовлетворяет условию \( x > \sqrt{6} \) (так как \( 3 > \sqrt{6} \approx 2.45 \)). \( x = -2 \) не удовлетворяет условию \( x > 0 \).

Ответ: 3.