10. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 9 и 21 и диагональю 17. Ровно две боковые грани призмы — квадраты. Найдите площадь поверхности и объем призмы.

Решение:

1. Основание призмы — равнобедренная трапеция.

Пусть основания трапеции \( a = 9 \) и \( b = 21 \). Диагональ \( d = 17 \).

Проведем высоту \( h \) из вершины тупого угла к большему основанию. Отрезок, который отсекает высота от большего основания, равен \( \frac{b-a}{2} = \frac{21-9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю, высотой трапеции и отрезком \( x \) от вершины острого угла до основания перпендикуляра, опущенного из другого конца диагонали. Однако проще использовать другое свойство:

Пусть \( BC = 9 \), \( AD = 21 \), \( BD = 17 \). Опустим высоту \( BH \) из \( B \) на \( AD \). Тогда \( AH = \frac{21-9}{2} = 6 \).

В прямоугольном \( \triangle ABH \): \( AB^2 = BH^2 + AH^2 \). Здесь \( AB \) — боковая сторона трапеции. Нам нужно найти высоту трапеции \( h = BH \).

Рассмотрим \( \triangle BHD \). \( BD^2 = BH^2 + HD^2 \). \( HD = AD - AH = 21 - 6 = 15 \).

\[ 17^2 = h^2 + 15^2 \]\[ 289 = h^2 + 225 \]\[ h^2 = 289 - 225 \]\[ h^2 = 64 \]\[ h = 8 \) см.

Теперь найдем боковую сторону \( AB \) (она равна \( CD \) так как трапеция равнобедренная). В \( \triangle ABH \):

\[ AB^2 = BH^2 + AH^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \]\[ AB = 10 \) см.

Площадь трапеции \( S_{\text{осн}} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{9+21}{2} \cdot 8 = \frac{30}{2} \cdot 8 = 15 \cdot 8 = 120 \) см².

2. Высота призмы.

Две боковые грани — квадраты. Это означает, что боковые стороны трапеции равны высоте призмы. Поскольку боковая сторона трапеции равна 10 см, то высота призмы \( H = 10 \) см.

3. Площадь поверхности призмы.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:

\( S_{\text{полн}} = 2 S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \)

Площадь боковой поверхности: \( S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot H \), где \( P_{\text{осн}} \) — периметр основания.

\( P_{\text{осн}} = a + b + 2 \cdot AB = 9 + 21 + 2 \cdot 10 = 30 + 20 = 50 \) см.

\[ S_{\(\text{бок}\)} = 50 \(\cdot\) 10 = 500 \) см².

\[ S_{\(\text{полн}\)} = 2 \(\cdot\) 120 + 500 = 240 + 500 = 740 \) см².

4. Объем призмы.

Объем призмы: \( V = S_{\text{осн}} \cdot H \).

\[ V = 120 \(\cdot\) 10 = 1200 \) см³.

Ответ: Площадь поверхности призмы равна \( 740 \) см², объем призмы равен \( 1200 \) см³.