6. Решите неравенство \( \log_{\frac{1}{2}} (9-x^2) \ge \log_{\frac{1}{2}} (4x+4) \), учитывая область определения и свойство монотонности логарифмической функции.

Решение:

1. Область определения:

• \( 9-x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 9 \Rightarrow -3 < x < 3 \)
• \( 4x+4 > 0 \Rightarrow 4x > -4 \Rightarrow x > -1 \)
• Объединяя оба условия, получаем: \( -1 < x < 3 \).

2. Решение неравенства:

Так как основание логарифма \( \frac{1}{2} < 1 \), функция \( \log_{\frac{1}{2}} x \) является убывающей. При раскрытии логарифмов знак неравенства меняется на противоположный:

\[ 9-x^2 \le 4x+4 \]\[ 0 \le x^2 + 4x - 5 \]

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 + 4x - 5 = 0 \):

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \]

Корни: \( x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \).

Квадратный трехчлен \( x^2 + 4x - 5 \) положителен при \( x \le -5 \) или \( x \ge 1 \).

3. Пересечение с областью определения:

Нам нужно пересечь решение \( x \le -5 \) или \( x \ge 1 \) с областью определения \( -1 < x < 3 \).

Из \( x \le -5 \) и \( -1 < x < 3 \) нет пересечения.

Из \( x \ge 1 \) и \( -1 < x < 3 \) получаем \( 1 \le x < 3 \).

Ответ: \( [1; 3) \).