7. Площадь сечения шара плоскостью равна 80π см². Секущая плоскость удалена от центра шара на 8 см. Найдите площадь шара.

Решение:

1. Найдём радиус шара.

Площадь сечения шара плоскостью — это площадь круга. Формула площади круга: \( S = \pi R^2 \).

По условию \( S_{\text{сечения}} = 80\pi \) см².

\[ \pi R_{\text{сечения}}^2 = 80\pi \]\[ R_{\text{сечения}}^2 = 80 \]

Расстояние от центра шара до секущей плоскости равно 8 см. Радиус шара (R), радиус сечения (\(R_{\text{сечения}}\)) и расстояние от центра до плоскости (d) связаны теоремой Пифагора: \( R^2 = R_{\text{сечения}}^2 + d^2 \).

\[ R^2 = 80 + 8^2 \]\[ R^2 = 80 + 64 \]\[ R^2 = 144 \]\[ R = \sqrt{144} = 12 \) см.

2. Найдём площадь поверхности шара.

Формула площади поверхности шара: \( S_{\text{шара}} = 4\pi R^2 \).

\[ S_{\text{шара}} = 4\pi (12)^2 \]\[ S_{\text{шара}} = 4\pi \cdot 144 \]\[ S_{\(\text{шара}\)} = 576\(\pi\) \) см².

Ответ: \( 576\pi \) см².