10. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{\sqrt{2}}{4}$$. Найдите площадь трапеции.

Пусть основания трапеции равны $$a=18$$ и $$b=12$$. Высота трапеции $$h$$. Тангенс угла между боковой стороной и основанием равен $$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$. Пусть боковая сторона $$c=6$$. Тогда $$h = c \sin(\alpha)$$. Из $$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$, найдем $$\sin(\alpha) = \frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{1+\tan^2(\alpha)}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{1+(\frac{\sqrt{2}}{4})^2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{1+\frac{2}{16}}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{\frac{18}{16}}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{3\sqrt{2}}{4}} = \frac{1}{3}$$. Высота $$h = 6 \times \frac{1}{3} = 2$$. Площадь трапеции $$S = \frac{a+b}{2}h = \frac{18+12}{2} \times 2 = 30$$.