10. Острый угол между диагоналями прямоугольника равен α. Найдите отношение, в котором делит сторону этого прямоугольника серединный перпендикуляр к его диагонали.

Обозначим стороны прямоугольника через \(a\) и \(b\), причём \(a>b\). Серединный перпендикуляр к диагонали пересекает большую сторону и делит её на отрезки \(x\) и \(y\).

Для угла между диагоналями:

\[\cos\alpha=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}.\]

Из уравнения серединного перпендикуляра получаем:

\[x:y=(a^2+b^2):(a^2-b^2).\]

Следовательно,

\[x:y=1:\cos\alpha.\]

Ответ: \(1:\cos\alpha\).