12. Диагональ трапеции перпендикулярна основаниям и образует с боковыми сторонами углы 30° и 60°. В каком отношении делит её другая диагональ трапеции?

Пусть перпендикулярная основаниям диагональ имеет длину \(h\). Горизонтальные проекции боковых сторон равны

\[h\cot60^\circ=\frac{h}{\sqrt3},\qquad h\cot30^\circ=\sqrt3h.\]

Горизонтальная составляющая другой диагонали:

\[\sqrt3h-\frac{h}{\sqrt3}=\frac{2h}{\sqrt3}.\]

По теореме Пифагора длина другой диагонали равна

\[d=\sqrt{h^2+\left(\frac{2h}{\sqrt3}\right)^2}=h\sqrt{\frac73}.\]

Поэтому отношение диагоналей (другая диагональ : перпендикулярная диагональ) равно

\[\sqrt{\frac73}:1=\sqrt{21}:3.\]

Ответ: \(\sqrt{21}:3\).