11. В четырёхугольнике ABCD углы BAC и CAD равны 30°, а углы ABC и ACD прямые. В каком отношении делит сторону AD проведённый к ней перпендикуляр BH?

Пусть \(AC=c\). В прямоугольном треугольнике \(ABC\):

\[AB=\frac{\sqrt3}{2}c.\]

В прямоугольном треугольнике \(ACD\):

\[AD=\frac{2}{\sqrt3}c.\]

Так как \(\angle BAC=\angle CAD=30^\circ\), то \(\angle BAD=60^\circ\). Точка \(H\) — проекция точки \(B\) на \(AD\), поэтому

\[AH=AB\cos60^\circ=\frac{\sqrt3}{4}c.\]

Тогда

\[HD=AD-AH=\frac{2}{\sqrt3}c-\frac{\sqrt3}{4}c=\frac{5}{4\sqrt3}c.\]

Следовательно,

\[AH:HD=\frac{\sqrt3}{4}c:\frac{5}{4\sqrt3}c=3:5.\]

Ответ: \(AH:HD=3:5\).