10. Отрезки АС и BD – диаметры окружности с центром О. ∠AOD равен 110°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах. Ответ: ___________ или Точка О – центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что ∠ABC = 62° и ∠OAB = 43°. Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах. Ответ: ___________ или Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О. Точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 59°. Ответ дайте в градусах.

Решение задачи 10 (первый вариант):

1. Смежные углы: Углы ∠AOD и ∠DOC являются смежными, их сумма равна 180°. ∠DOC = 180° - ∠AOD = 180° - 110° = 70°.
2. Центральный и вписанный углы: Угол ∠DOC является центральным углом, опирающимся на дугу DC. Угол ∠DBC является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу DC. Следовательно, ∠DBC = ∠DOC / 2 = 70° / 2 = 35°.
3. Рассмотрим треугольник BOC: OB = OC (радиусы окружности), значит, треугольник BOC равнобедренный. ∠OBC = ∠OCB.
4. Найдем ∠OCB: Углы ∠AOD и ∠BOC также являются вертикальными, поэтому ∠BOC = ∠AOD = 110°. В равнобедренном треугольнике BOC: ∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°. 2 * ∠OCB + 110° = 180°. 2 * ∠OCB = 70°. ∠OCB = 35°.
5. Вписанный угол АСВ: ∠ACB = ∠ACO + ∠OCB. Так как AC - диаметр, то ∠ABC = 90°. В прямоугольном треугольнике ABC: ∠BAC + ∠BCA = 90°. ∠BAC = ∠BOC / 2 = 110 / 2 = 55°. ∠ACB = 90° - ∠BAC = 90° - 55° = 35°.

Ответ: 35°

Решение задачи 10 (второй вариант):

1. Рассмотрим треугольник OAB: OA = OB (радиусы окружности), поэтому треугольник OAB равнобедренный. Угол ∠OBA = ∠OAB = 43°.
2. Угол ∠ABC: ∠ABC = ∠OBA + ∠OBC = 62°. 43° + ∠OBC = 62°. ∠OBC = 62° - 43° = 19°.
3. Рассмотрим треугольник OBC: OB = OC (радиусы окружности), поэтому треугольник OBC равнобедренный. Угол ∠OCB = ∠OBC = 19°.
4. Найдем угол BOC: Сумма углов в треугольнике OBC равна 180°. ∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - (19° + 19°) = 180° - 38° = 142°.

Ответ: 142°

Решение задачи 10 (третий вариант):

1. Центральный угол и вписанный угол: Центральный угол ∠AOB равен 59°.
2. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу: Вписанный угол ∠ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол ∠AOB.
3. Находим угол АСВ: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. ∠ACB = ∠AOB / 2 = 59° / 2 = 29.5°.

Ответ: 29.5°