10. Пользуясь диаграммой Эйлера для событий A, B и C, выведите формулу сложения вероятностей для трёх событий: P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A∩B) − P(A∩C) − P(B∩C) + P(A∩B∩C).

Сначала складываем вероятности трёх событий. При этом области попарных пересечений учитываются дважды, поэтому вычитаем вероятности всех трёх попарных пересечений. Область A∩B∩C после этого была вычтена лишний раз: в сумме одиночных вероятностей она учтена трижды, а после вычитания попарных пересечений остаётся с коэффициентом −3. Добавляем её обратно один раз, чтобы итоговый коэффициент стал равен 1.

Это следует и последовательным применением формулы для двух событий:

\[P(A∪B∪C)=P(A∪B)+P(C)-P((A∪B)∩C).\]

По распределительному свойству множеств (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C), поэтому

\[P((A∪B)∩C)=P(A∩C)+P(B∩C)-P(A∩B∩C).\]

Подставим формулу сложения для A и B и последнее равенство:

\[P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)-P(A∩B)+P(C)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C).\]

Ответ: \[P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C).\]