10. Постройте график функции y = {x^2 - 6x + 11, если x >= 2; x + 3, если x < 2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Построение графика y = x^2 - 6x + 11 при x >= 2:
   Это парабола, ветви направлены вверх. Вершина находится в точке x = -(-6)/(2*1) = 3. При x = 3, y = 3^2 - 6(3) + 11 = 9 - 18 + 11 = 2. Вершина в (3, 2).
   При x = 2, y = 2^2 - 6(2) + 11 = 4 - 12 + 11 = 3. График начинается с точки (2, 3) и идет вниз до вершины (3, 2), затем вверх.
2. Построение графика y = x + 3 при x < 2:
   Это прямая линия. При x = 2, y = 2 + 3 = 5. Однако, условие x < 2, поэтому точка (2, 5) не включается.
   При x = 0, y = 3. График идет от левого нижнего угла к точке (2, 5) (не включая ее).
3. Анализ пересечений с y = m:
   Горизонтальная линия y = m будет пересекать график в двух точках, если:
   
   • m находится между значением параболы в точке x = 2 (y = 3) и вершиной параболы (y = 2). То есть, 2 < m < 3.
   • m находится между значением прямой при x = 2 (y = 5) и значением вершины параболы (y = 2), но не включая 5 и 2.
4. Определение значений m:
   Вершина параболы находится в точке (3, 2), поэтому при m = 2 график имеет одну точку пересечения (вершина).
   В точке x = 2 для параболы y = 3.
   Для прямой y = x + 3 при x = 2, y = 5. График параболы начинается с (2, 3). График прямой заканчивается в (2, 5) (не включительно).
   Линия y=m будет иметь две точки пересечения, когда:
   
   • m находится между 2 (вершина параболы) и 3 (значение параболы при x=2). То есть, 2 < m < 3.
   • m находится между 3 (значение параболы при x=2) и 5 (предельное значение прямой при x=2). То есть, 3 < m < 5.
   
   Таким образом, прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки при m ∈ (2; 3) ∪ (3; 5).

Ответ: m ∈ (2; 3) ∪ (3; 5)