10. Постройте график функции y = |x| |x| + 2|x| - 5х Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Сначала преобразуем функцию, раскрыв модули. Функция имеет вид $$y = x^2 + 2|x| - 5x$$. Разобьем решение на два случая:

• Случай 1: $$x ≥ 0$$

  В этом случае $$|x| = x$$, поэтому функция принимает вид:

  $$y = x • x + 2x - 5x$$

  $$y = x^2 - 3x$$

  Это парабола. Найдем вершину параболы:

  $$x_в = -b / (2a) = -(-3) / (2 • 1) = 3 / 2 = 1.5$$

  $$y_в = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$$

  На интервале $$x ≥ 0$$, график начинается с точки (0,0) и далее идет по параболе $$y = x^2 - 3x$$.

• Случай 2: $$x < 0$$

  В этом случае $$|x| = -x$$, поэтому функция принимает вид:

  $$y = x • (-x) + 2(-x) - 5x$$

  $$y = -x^2 - 2x - 5x$$

  $$y = -x^2 - 7x$$

  Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

  $$x_в = -b / (2a) = -(-7) / (2 • (-1)) = 7 / (-2) = -3.5$$

  $$y_в = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) = -(12.25) + 24.5 = 12.25$$

  На интервале $$x < 0$$, график идет от $$y = -x^2 - 7x$$, начиная от точки (0,0) (но не включая ее, так как $$x < 0$$).

Построение графика:

Определение значений m:

Прямая $$y = m$$ является горизонтальной линией. Нам нужно найти такие значения $$m$$, при которых эта линия пересекает график функции ровно в двух точках.

Рассмотрим график:

• При $$m > 12.25$$ (максимальное значение вершины для $$x < 0$$), прямая $$y=m$$ не пересекает график.
• При $$m = 12.25$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в одной точке (вершина параболы для $$x < 0$$).
• При $$0 < m < 12.25$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в двух точках (по одной в каждой ветви параболы).
• При $$m = 0$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в двух точках (0,0) и (3,0).
• При $$-2.25 < m < 0$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в трех точках (одна в правой ветви, две в левой).
• При $$m = -2.25$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в двух точках (вершина для $$x ≥ 0$$ и одна точка в левой ветви).
• При $$m < -2.25$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в одной точке (в левой ветви).

Таким образом, прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки, когда $$m$$ находится в следующих интервалах:

• $$m > 12.25$$ (нет, это одна точка)
• $$0 < m < 12.25$$
• $$m = -2.25$$

Уточнение: Проанализируем внимательнее график. Функция $$y = -x^2 - 7x$$ для $$x<0$$ достигает максимума $$12.25$$ при $$x=-3.5$$. Функция $$y = x^2 - 3x$$ для $$x ≥ 0$$ имеет минимум $$-2.25$$ при $$x=1.5$$. График проходит через (0,0) и (3,0).

• Линия $$y=m$$ имеет 2 точки пересечения, когда:
• $$0 < m < 12.25$$ (две точки, по одной на каждом участке)
• $$m = -2.25$$ (одна точка на участке $$x ≥ 0$$, одна точка на участке $$x < 0$$).
• $$m=0$$ (две точки: (0,0) и (3,0)).

При $$m=12.25$$ — одна точка. При $$m < -2.25$$ — одна точка. При $$-2.25 < m < 0$$ — три точки.

Следовательно, ровно две точки пересечения будут при:

• $$0 < m < 12.25$$
• $$m = -2.25$$
• $$m = 0$$

Объединяя эти случаи:

• $$m ∈ (-2.25, 0] ∪ (0, 12.25)$$
• $$m ∈ (-2.25, 12.25)$$

Ответ: $$m ∈ (-2.25, 12.25)$$