10. При движении ракеты ее видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону l = l₀√(1 − v²/c²), где l₀ = 75 м — длина покоящейся ракеты, c = 3 · 10⁵ км/с — скорость света, а v — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы ее наблюдаемая длина стала не более 21 м? Ответ выразите в км/с.

Чтобы найти минимальную скорость, приравняем длину к предельному значению 21 м:

\(75\sqrt{1-\frac{v^2}{(3\cdot10^5)^2}}=21\).

Делим обе части на 75:

\(\sqrt{1-\frac{v^2}{(3\cdot10^5)^2}}=\frac{7}{25}\).

Возводим обе части в квадрат и выражаем отношение скоростей:

\(1-\frac{v^2}{(3\cdot10^5)^2}=\frac{49}{625}\), поэтому \(\frac{v^2}{(3\cdot10^5)^2}=\frac{576}{625}\), а \(v=\frac{24}{25}\cdot 3\cdot10^5=288000\) км/с.

При большей скорости длина будет ещё меньше, поэтому найденное значение — минимальное.

Ответ: 288000 км/с.