10. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD (рис. 253) пересекаются в точке М. Укажите коэффициент гомотетии с центром в точке М, при которой отрезок BC является образом отрезка AD, если АВ : BM = 7 : 2.

В данной задаче отрезок BC является образом отрезка AD при гомотетии с центром в точке М. Это означает, что BC || AD.

По условию, AB : BM = 7 : 2. Так как точка M лежит на продолжении стороны AB, то AM = AB + BM. Используя соотношение сторон:

• AM = AB + BM.
• Соответственно, AM = AB + (2/7)AB = (9/7)AB.

Коэффициент гомотетии (k) равен отношению длины образа к длине прообраза. В данном случае образ — это BC, а прообраз — AD.

Так как треугольники MBC и MAD подобны (по двум углам: угол M общий, а углы MBC и MAD равны как соответственные при параллельных BC и AD и секущей AB), то отношение их сторон равно коэффициенту подобия:

• \[ \frac{BC}{AD} = \frac{MB}{MA} \]

Из условия AB : BM = 7 : 2, следует, что MA = MB + BA. Если принять MB = 2x, то AB = 7x, и MA = 2x + 7x = 9x.

Тогда коэффициент гомотетии:

• \[ k = \frac{MB}{MA} = \frac{2x}{9x} = \frac{2}{9} \]

Ответ: Б) 2/9