12. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его сторону АС в точке Е, а сторону ВС — в точке F. Чему равна площадь треугольника CEF, если AE : EC = 3 : 2, а площадь треугольника АВС равна 75 см²?

По условию, прямая EF параллельна стороне AB треугольника ABC.

Это означает, что треугольник CEF подобен треугольнику CAB. Коэффициент подобия определяется отношением соответствующих сторон.

Нам дано, что AE : EC = 3 : 2. Это значит, что сторона AC разделена на 3 + 2 = 5 частей.

Отношение стороны EC к стороне AC равно:

• \[ \frac{EC}{AC} = \frac{EC}{AE + EC} = \frac{2}{3 + 2} = \frac{2}{5} \]

Так как треугольники CEF и CAB подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

• \[ \frac{S_{CEF}}{S_{CAB}} = \left( \frac{EC}{AC} \right)^2 \]

Подставляем известные значения:

• \[ \frac{S_{CEF}}{75 \text{ см}^2} = \left( \frac{2}{5} \right)^2 = \frac{4}{25} \]

Теперь находим площадь треугольника CEF:

• \[ S_{CEF} = 75 \text{ см}^2 \times \frac{4}{25} \]
• \[ S_{CEF} = \frac{75 \times 4}{25} = 3 \times 4 = 12 \text{ см}^2 \]

Ответ: Г) 12 см²