10. Решите неравенство \(\frac{1}{x} \ge \frac{1}{x-7}\).

Решение:

1. Перенесем все члены неравенства в одну часть:\[ \frac{1}{x} - \frac{1}{x-7} \ge 0 \]
2. Приведем к общему знаменателю:\[ \frac{(x-7) - x}{x(x-7)} \ge 0 \]\[ \frac{x - 7 - x}{x(x-7)} \ge 0 \]\[ \frac{-7}{x(x-7)} \ge 0 \]
3. Чтобы дробь была больше или равна нулю, числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак. Так как числитель (-7) отрицательный, знаменатель $$x(x-7)$$ должен быть отрицательным.\[ x(x-7) < 0 \]
4. Найдем корни уравнения $$x(x-7)=0$$: $$x=0$$ и $$x=7$$. Парабола $$y=x(x-7)$$ направлена ветвями вверх. Неравенство $$x(x-7)<0$$ выполняется при значениях $$x$$, находящихся между корнями.
5. Учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю ($$x
   e 0$$ и $$x
   e 7$$), получаем интервал.

Ответ: $$x \in (0; 7)$$