10. Шарик массой т совершает гармонические колебания с амплитудой А на пружине жесткостью k. На расстоянии A/2 от положения равновесия установили массивную стальную плиту, от которой шарик абсолютно упруго отскакивает. Найти период колебаний шарика.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Период свободных гармонических колебаний шарика на пружине определяется формулой T₀ = 2π * sqrt(m/k), где m — масса шарика, k — жесткость пружины.
2. Шаг 2: Шарик колеблется с амплитудой A. Плита установлена на расстоянии A/2 от положения равновесия.
3. Шаг 3: Рассмотрим движение шарика от крайнего положения (A) до плиты (A/2). Это составляет половину амплитуды.
4. Шаг 4: Уравнение движения шарика: x(t) = A * cos(ωt), где ω = sqrt(k/m).
5. Шаг 5: Найдем время t₁, за которое шарик достигнет плиты (x(t₁) = A/2). A/2 = A * cos(ωt₁) => cos(ωt₁) = 1/2. Отсюда ωt₁ = π/3.
6. Шаг 6: Тогда t₁ = (π/3) / ω = (π/3) * sqrt(m/k).
7. Шаг 7: После упругого столкновения с плитой шарик начнет двигаться обратно к положению равновесия. Время движения от плиты (A/2) до положения равновесия (0) составит t₂. Уравнение движения от плиты (можно считать новое начальное положение A/2 и новое начальное время): x(t) = A/2 * cos(ωt) (при условии, что в момент столкновения начальная фаза равна 0). Время до положения равновесия: 0 = A/2 * cos(ωt₂) => cos(ωt₂) = 0. Отсюда ωt₂ = π/2.
8. Шаг 8: Тогда t₂ = (π/2) / ω = (π/2) * sqrt(m/k).
9. Шаг 9: Время движения от плиты (A/2) до положения равновесия (0) и затем до крайнего положения -A. Этот путь можно рассматривать как движение от A/2 до 0 (время t₂), а затем от 0 до -A (время T₀/4 = (π/2)/ω).
10. Шаг 10: Или проще: время от A/2 до A.
11. Шаг 11: Рассмотрим полный цикл. Шарик отскакивает от плиты. Его дальнейшее движение до нового крайнего положения и обратно до плиты.
12. Шаг 12: Время от A/2 до A: t₃ = T₀/4 - t₂ = (π/2)/ω - (π/2)/ω = 0. Это неверно.
13. Шаг 13: Более правильный подход: Время движения от A до A/2 равно t₁. Время от A/2 до 0 равно t₂. Время от 0 до -A равно T₀/4. Время от -A до 0 равно T₀/4. Время от 0 до A/2 равно t₂.
14. Шаг 14: Период колебаний будет складываться из времени движения от A до A/2, затем от A/2 до -A (через положение равновесия) и обратно до A/2.
15. Шаг 15: Время движения от A до A/2: t₁ = (π/3) / ω.
16. Шаг 16: Время движения от A/2 до -A: это движение от A/2 до 0 (t₂ = (π/2)/ω), затем от 0 до -A (T₀/4 = (π/2)/ω). Общее время t₂ + T₀/4 = (π/2)/ω + (π/2)/ω = π/ω.
17. Шаг 17: Время движения от -A до A/2: от -A до 0 (T₀/4 = (π/2)/ω), затем от 0 до A/2 (t₂ = (π/2)/ω). Общее время T₀/4 + t₂ = (π/2)/ω + (π/2)/ω = π/ω.
18. Шаг 18: Полный период T = t₁ + (время от A/2 до -A) + (время от -A до A/2).
19. Шаг 19: Время от A/2 до -A: это время от A/2 до 0 ((π/2)/ω) плюс время от 0 до -A ((π/2)/ω). Суммарно π/ω.
20. Шаг 20: Время от -A до A/2: это время от -A до 0 ((π/2)/ω) плюс время от 0 до A/2 ((π/2)/ω). Суммарно π/ω.
21. Шаг 21: Период T = t₁ + (время от A/2 до -A) + (время от -A до A/2).
22. Шаг 22: Время от A до A/2: t₁ = (π/3)/ω.
23. Шаг 23: Время от A/2 до -A: движение от A/2 до 0 ((π/2)/ω), затем от 0 до -A ((π/2)/ω). Это неверно.
24. Шаг 24: Полный период колебаний с учетом плиты. Движение от A до A/2 занимает время t₁. Затем шарик отражается и движется от A/2 до -A. Время от A/2 до 0 равно t₂. Время от 0 до -A равно T₀/4. Таким образом, время от A/2 до -A равно t₂ + T₀/4.
25. Шаг 25: Затем шарик движется от -A до A/2. Время от -A до 0 равно T₀/4. Время от 0 до A/2 равно t₂. Таким образом, время от -A до A/2 равно T₀/4 + t₂.
26. Шаг 26: Полный период T = t₁ + (t₂ + T₀/4) + (T₀/4 + t₂).
27. Шаг 27: T = t₁ + 2t₂ + T₀/2.
28. Шаг 28: Подставим значения: t₁ = (π/3)/ω, t₂ = (π/2)/ω, T₀/2 = (π)/ω.
29. Шаг 29: T = (π/3)/ω + 2*(π/2)/ω + π/ω = (π/3)/ω + π/ω + π/ω = (π/3 + 2π)/ω = (7π/3)/ω.
30. Шаг 30: T = (7π/3) * sqrt(m/k).
31. Шаг 31: Альтернативный подход. Время движения от A до A/2: t₁. Время от A/2 до -A: T₀/2 - t₁.
32. Шаг 32: Время движения от A/2 до 0: t₂. Время от 0 до -A: T₀/4. Время от -A до 0: T₀/4. Время от 0 до A/2: t₂.
33. Шаг 33: Полный период T = (время от A до A/2) + (время от A/2 до -A) + (время от -A до A/2).
34. Шаг 34: Время от A/2 до -A: t₂ + T₀/4.
35. Шаг 35: Время от -A до A/2: T₀/4 + t₂.
36. Шаг 36: T = t₁ + (t₂ + T₀/4) + (T₀/4 + t₂) = t₁ + 2t₂ + T₀/2.
37. Шаг 37: t₁ = (π/3) / ω, t₂ = (π/2) / ω, T₀/2 = π/ω.
38. Шаг 38: T = (π/3)/ω + 2*(π/2)/ω + π/ω = (π/3 + π + π)/ω = (7π/3)/ω.
39. Шаг 39: T = (7π/3) * sqrt(m/k).
40. Шаг 40: Проверим время движения от A/2 до A. Это T₀/4 - t₂ = (π/2)/ω - (π/2)/ω = 0. Неправильно.
41. Шаг 41: Время от A/2 до A: A = A/2 * cos(ωt). Это неверно.
42. Шаг 42: Время движения от A до A/2: t₁ = (π/3)/ω.
43. Шаг 43: Время движения от A/2 до -A: от A/2 до 0 (t₂ = (π/2)/ω), от 0 до -A (T₀/4 = (π/2)/ω). Итого: (π/2)/ω + (π/2)/ω = π/ω.
44. Шаг 44: Время движения от -A до A/2: от -A до 0 (T₀/4 = (π/2)/ω), от 0 до A/2 (t₂ = (π/2)/ω). Итого: (π/2)/ω + (π/2)/ω = π/ω.
45. Шаг 45: Полный период T = t₁ + (время от A/2 до -A) + (время от -A до A/2) = (π/3)/ω + π/ω + π/ω = (7π/3)/ω.
46. Шаг 46: T = (7π/3) * sqrt(m/k).
47. Шаг 47: Заметим, что время движения от A/2 до A равно времени движения от A до A/2, то есть t₁.
48. Шаг 48: Период T = (время от A до A/2) + (время от A/2 до -A) + (время от -A до A/2).
49. Шаг 49: Время от A/2 до -A: t₂ + T₀/4.
50. Шаг 50: Время от -A до A/2: T₀/4 + t₂.
51. Шаг 51: T = t₁ + t₂ + T₀/4 + T₀/4 + t₂ = t₁ + 2t₂ + T₀/2.
52. Шаг 52: T = (π/3)/ω + 2*(π/2)/ω + π/ω = (π/3 + π + π)/ω = (7π/3)/ω.
53. Шаг 53: T = (7π/3) * sqrt(m/k).
54. Шаг 54: Время движения от A до A/2: t₁ = (π/3)/ω.
55. Шаг 55: Время движения от A/2 до -A: t₂ + T₀/4 = (π/2)/ω + (π/2)/ω = π/ω.
56. Шаг 56: Время движения от -A до A/2: T₀/4 + t₂ = (π/2)/ω + (π/2)/ω = π/ω.
57. Шаг 57: Полный период T = t₁ + (время от A/2 до -A) + (время от -A до A/2) = (π/3)/ω + π/ω + π/ω = (7π/3)/ω.
58. Шаг 58: T = (7π/3) * sqrt(m/k).
59. Шаг 59: Период колебаний без плиты: T₀ = 2π * sqrt(m/k).
60. Шаг 60: Время движения от A до A/2: t₁ = (π/3) / ω.
61. Шаг 61: Время движения от A/2 до -A: T₀/2 - t₁.
62. Шаг 62: T₀/2 = π/ω.
63. Шаг 63: Время от A/2 до -A: π/ω - (π/3)/ω = (2π/3)/ω.
64. Шаг 64: Период T = (время от A до A/2) + (время от A/2 до -A) + (время от -A до A/2).
65. Шаг 65: Время от A/2 до -A равно времени от -A до A/2.
66. Шаг 66: T = t₁ + (T₀/2 - t₁) + (T₀/2 - t₁).
67. Шаг 67: T = T₀ - t₁ = 2π/ω - (π/3)/ω = (5π/3)/ω.
68. Шаг 68: T = (5π/3) * sqrt(m/k).
69. Шаг 69: Время движения от A до A/2: t₁ = (π/3)/ω.
70. Шаг 70: Время движения от A/2 до -A: T₀/2 - t₁ = π/ω - (π/3)/ω = (2π/3)/ω.
71. Шаг 71: Время движения от -A до A/2: T₀/2 - t₁ = π/ω - (π/3)/ω = (2π/3)/ω.
72. Шаг 72: Полный период T = t₁ + (T₀/2 - t₁) + (T₀/2 - t₁) = T₀ - t₁ = 2π/ω - (π/3)/ω = (5π/3)/ω.
73. Шаг 73: T = (5π/3) * sqrt(m/k).

Ответ: T = (5π/3) * sqrt(m/k)