10. Сколько существует натуральных чисел, меньших 10000, произведение цифр которых равно 100?

Разложим произведение на простые множители: 100 = 2² · 5². Цифры числа не могут быть нулями; единственные возможные цифры — 1, 2, 4 и 5.

Каждая цифра 5 вносит множитель 5, поэтому цифр 5 должно быть ровно две. Цифры 2 и 4 в совокупности должны дать множитель 2². Это возможно либо двумя цифрами 2, либо одной цифрой 4. Значит, возможны наборы цифр: {5, 5, 2, 2} и {5, 5, 4}.

Числа с четырьмя цифрами образуются перестановками набора {5, 5, 2, 2}: их 4! / (2! · 2!) = 6. Числа с тремя цифрами образуются перестановками набора {5, 5, 4}: их 3! / 2! = 3. Все они меньше 10000.

Ответ: 9.