10. Тип 10 № 1891 Школьника попросили определить толщину проволоки. Для проведения опыта он взял обыч- ную линейку и начал аккуратно наматывать на неё проволоку виток к витку. Результаты измере- ний оказались такими: при намотке пяти витков общая толщина намотанных витков составила от 2 мм до 3 мм (края обмотанной области линейки не совпадали с делениями), при намотке пятна- дцати витков — от 7 мм до 8 мм, при намотке 24 витков — от 11 мм до 12 мм. На основании по- лученных школьником результатов ответьте на следующие вопросы. 1) По результатам каждого измерения определите толщину проволоки d и оцените погреш- ность определения толщины проволоки. 2) В каком из трёх экспериментов точность определения толщины проволоки будет наиболь- шей? 3) Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить толщину проволоки с наибольшей точностью, определите проволоку какой длины нужно взять, чтобы об- мотать полностью линейку длиной 30 см. Ширина линейки 1 см, а толщина 2 мм. Напишите полное решение этой задачи.

Краткое пояснение:

Толщина проволоки определяется делением общей толщины намотки на количество витков. Точность измерения зависит от относительной погрешности. Для расчёта необходимой длины проволоки учитываем размеры линейки и толщину проволоки.

Пошаговое решение:

1) Определение толщины проволоки и оценка погрешности для каждого измерения:

Измерение 1 (5 витков):

• Общая толщина: от 2 мм до 3 мм.
• Толщина одного витка (d₁): от \( \frac{2}{5} \) мм до \( \frac{3}{5} \) мм, то есть от 0,4 мм до 0,6 мм.
• Оценка толщины: Возьмём среднее значение: \( d₁ = \frac{0,4 + 0,6}{2} = 0,5 \) мм.
• Погрешность: \( \Delta d₁ = \frac{0,6 - 0,4}{2} = 0,1 \) мм.
• Толщина проволоки: \( d₁ = 0,5 \pm 0,1 \) мм.

Измерение 2 (15 витков):

• Общая толщина: от 7 мм до 8 мм.
• Толщина одного витка (d₂): от \( \frac{7}{15} \) мм до \( \frac{8}{15} \) мм, то есть примерно от 0,467 мм до 0,533 мм.
• Оценка толщины: \( d₂ = \frac{0,467 + 0,533}{2} \approx 0,5 \) мм.
• Погрешность: \( \Delta d₂ = \frac{0,533 - 0,467}{2} \approx 0,033 \) мм.
• Толщина проволоки: \( d₂ = 0,5 \pm 0,033 \) мм.

Измерение 3 (24 витка):

• Общая толщина: от 11 мм до 12 мм.
• Толщина одного витка (d₃): от \( \frac{11}{24} \) мм до \( \frac{12}{24} \) мм, то есть примерно от 0,458 мм до 0,5 мм.
• Оценка толщины: \( d₃ = \frac{0,458 + 0,5}{2} \approx 0,479 \) мм.
• Погрешность: \( \Delta d₃ = \frac{0,5 - 0,458}{2} \approx 0,021 \) мм.
• Толщина проволоки: \( d₃ = 0,479 \pm 0,021 \) мм.

2) Определение эксперимента с наибольшей точностью:

Точность определения обратно пропорциональна погрешности. Сравним абсолютные погрешности:

• \( \Delta d₁ = 0,1 \) мм
• \( \Delta d₂ \approx 0,033 \) мм
• \( \Delta d₃ \approx 0,021 \) мм

Наименьшая погрешность у третьего измерения (24 витка). Следовательно, наибольшая точность определения толщины проволоки достигается в третьем эксперименте.

3) Расчёт необходимой длины проволоки:

Используем результаты третьего измерения, где толщина проволоки \( d \approx 0,479 \) мм (можно округлить до 0,5 мм для простоты расчёта, так как погрешность невелика).

Данные линейки:

• Длина: 30 см = 300 мм
• Ширина: 1 см = 10 мм
• Толщина: 2 мм

Чтобы обмотать линейку полностью, проволока должна покрыть её поверхность. Ширина линейки составляет 10 мм, а толщина одного витка проволоки — 0,5 мм. Количество витков, которое поместится по ширине линейки, равно:

• Количество витков по ширине = \( \frac{\text{Ширина линейки}}{\text{Толщина проволоки}} = \frac{10 \text{ мм}}{0,5 \text{ мм}} = 20 \text{ витков} \)

Длина одного витка при обмотке по длине линейки будет равна длине линейки (300 мм). Общая длина проволоки, необходимая для обмотки всей линейки, будет равна произведению длины линейки на количество витков по ширине:

• Необходимая длина проволоки = Длина линейки \( \times \) Количество витков по ширине
• Необходимая длина проволоки = 300 мм \( \times \) 20 = 6000 мм

Переведём в сантиметры:

• 6000 мм = 600 см

Ответ:

1) Толщина проволоки: d₁ = 0,5 ± 0,1 мм; d₂ ≈ 0,5 ± 0,033 мм; d₃ ≈ 0,479 ± 0,021 мм.

2) Наибольшая точность в третьем эксперименте (24 витка).

3) Необходимо взять проволоку длиной 600 см (или 6 м).