10. Тип 17 Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

Пусть диагональ BD параллелограмма ABCD образует с стороной AB угол \( \angle ABD = 50^{\circ} \), а со стороной BC угол \( \angle DBC = 85^{\circ} \).

Так как ABCD — параллелограмм, то AB || DC и AD || BC.

Угол \( \angle BDC = \angle ABD = 50^{\circ} \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD.

Угол \( \angle ADB = \angle DBC = 85^{\circ} \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей BD.

Углы параллелограмма — это \( \angle ABC \), \( \angle BCD \), \( \angle CDA \), \( \angle DAB \).

\( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 50^{\circ} + 85^{\circ} = 135^{\circ} \).

\( \angle CDA = \angle CDB + \angle BDA = 50^{\circ} + 85^{\circ} = 135^{\circ} \).

Углы \( \angle DAB \) и \( \angle BCD \) являются соседними углами параллелограмма, поэтому их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle DAB = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \).

\( \angle BCD = \angle DAB = 45^{\circ} \).

Меньший угол параллелограмма равен \( 45^{\circ} \).

Ответ: 45.