9. Тип 17 Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам: \( AO = BO = CO = DO \).

Пусть диагональ AC образует угол \( \angle BAC = 51^{\circ} \) со стороной AB.

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle BCA = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - 51^{\circ} = 39^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник ABO. Он равнобедренный, так как \( AO = BO \). Угол \( \angle OAB = \angle BAC = 51^{\circ} \).

Угол между диагоналями — это угол \( \angle AOB \). В \( \triangle ABO \):

\( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) \).

Так как \( \triangle ABO \) равнобедренный, \( \angle OAB = \angle OBA = 51^{\circ} \).

\( \angle AOB = 180^{\circ} - (51^{\circ} + 51^{\circ}) = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \).

Другой угол между диагоналями — \( \angle BOC \). В \( \triangle BOC \), \( BO = CO \), значит, \( \angle OBC = \angle BCA = 39^{\circ} \).

\( \angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - (39^{\circ} + 39^{\circ}) = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \).

Острый угол между диагоналями — это \( 78^{\circ} \).

Ответ: 78.