10. Точка D на стороне АВ треугольника АВС выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=86° и ∠ACB=71°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Дан треугольник ABC. Точка D лежит на стороне AB. Известно, что \( AD=AC \), \( \angle CAB = 86° \) и \( \angle ACB = 71° \).

Так как \( AD = AC \), треугольник ADC является равнобедренным. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

\( \angle ADC = \angle ACD \)

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°.

\( \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180° \)

\( \angle ABC + 86° + 71° = 180° \)

\( \angle ABC + 157° = 180° \)

\( \angle ABC = 180° - 157° = 23° \)

В треугольнике ADC, \( \angle CAD = \angle CAB = 86° \) (так как D лежит на AB).

\( \angle ADC + \angle ACD + \angle CAD = 180° \)

\( 2 \cdot \angle ACD + 86° = 180° \)

\( 2 \cdot \angle ACD = 180° - 86° = 94° \)

\( \angle ACD = \frac{94°}{2} = 47° \)

Теперь найдем \( \angle DCB \).

\( \angle DCB = \angle ACB - \angle ACD \)

\( \angle DCB = 71° - 47° = 24° \)

Ответ: 24°.