10. В фирме работает 50 сотрудников, из них 40 человек владеют английским языком, а 20 — немецким. 1) Каждый сотрудник этой фирмы, кто владеет английским языком, владеет и немецким. 2) В этой фирме нет ни одного сотрудника, владеющего и английским, и немецким языками. 3) В этой фирме хотя бы три сотрудника владеют английским, но не владеют немецким языком. 4) Не более 20 сотрудников этой фирмы владеют и английским, и немецким языками.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Обозначим:

• А — множество сотрудников, владеющих английским языком.
• Н — множество сотрудников, владеющих немецким языком.
• Всего сотрудников — 50.
• |А| = 40.
• |Н| = 20.

Рассмотрим каждое утверждение:

1. Утверждение 1: «Каждый сотрудник этой фирмы, кто владеет английским языком, владеет и немецким». Это означает, что А является подмножеством Н (А ⊆ Н). Если бы это было так, то |А| ≤ |Н|. Но у нас |А| = 40 и |Н| = 20, что противоречит этому утверждению. Следовательно, утверждение 1 неверно.
2. Утверждение 2: «В этой фирме нет ни одного сотрудника, владеющего и английским, и немецким языками». Это означает, что пересечение множеств А и Н пустое: |А ∩ Н| = 0. Используем формулу для объединения множеств: |А ∪ Н| = |А| + |Н| - |А ∩ Н|. Если |А ∩ Н| = 0, то |А ∪ Н| = 40 + 20 = 60. Но общее число сотрудников — 50, а значит, |А ∪ Н| ≤ 50. Получаем противоречие. Следовательно, утверждение 2 неверно.
3. Утверждение 3: «В этой фирме хотя бы три сотрудника владеют английским, но не владеют немецким языком». Это означает, что |А ​​​​ ​​​​​​ ​​​​​​ ​​​​​​​​ ​​​​​​ ​​​​ ​​​​ ​​​​| ≥ 3. Из условия |А| = 40 и |Н| = 20, а всего сотрудников 50. Максимальное пересечение |А ∩ Н| может быть равно |Н| = 20 (если все, кто знает немецкий, знают и английский). В этом случае |А ​​​​ ​​​​​​ ​​​​​​ ​​​​​​​​ ​​​​​​ ​​​​ ​​​​ ​​​​| = |А| - |А ∩ Н| = 40 - 20 = 20. Это больше или равно 3. Минимальное пересечение можно найти из общего числа: |А ∪ Н| ≤ 50. |А ∩ Н| = |А| + |Н| - |А ∪ Н| ≥ 40 + 20 - 50 = 10. В этом случае |А ​​​​ ​​​​​​ ​​​​​​ ​​​​​​​​ ​​​​​​ ​​​​ ​​​​ ​​​​| = |А| - |А ∩ Н| = 40 - 10 = 30. Значит, количество сотрудников, владеющих английским, но не немецким, находится в диапазоне [20, 30]. Так как 20 ≥ 3, то утверждение 3 верно.
4. Утверждение 4: «Не более 20 сотрудников этой фирмы владеют и английским, и немецким языками». Это означает, что |А ∩ Н| ≤ 20. Мы уже выяснили, что минимальное значение |А ∩ Н| равно 10, а максимальное — 20. Так как максимальное значение пересечения равно 20, то это утверждение верно.

Ответ: Утверждения 3 и 4 верны.