10. В группе учится определённое число учащихся. Если они встанут в ряд по 6, 8 или 15 человек, то останется 5 учащихся. а) Найдите наименьшее число учащихся в группе. б) Найдите наименьшее число учащихся, если эту группу можно разделить на маленькие группы по 13 человек.

а) Если после распределения по 6, 8 или 15 человек остаётся 5 учащихся, то число учащихся на 5 больше общего кратного этих чисел.

\(6=2\cdot3\), \(8=2^3\), \(15=3\cdot5\), поэтому \(\operatorname{НОК}(6,8,15)=2^3\cdot3\cdot5=120\).

Наименьшее подходящее число: \(120+5=125\).

б) Число должно также делиться на 13. Число 125 не делится на 13, поэтому берём следующие числа вида \(120k+5\): при \(k=2\) получаем 245, а оно не делится на 13; при \(k=3\) получаем 365, а оно делится на 13: \(365=13\cdot28+1\) — нет. При \(k=4\): 485 = 13·37 + 4; при \(k=5"): 605 = 13·46 + 7; при \(k=6"): 725 = 13·55 + 10; при \(k=7"): 845 = 13\cdot65\). Следовательно, наименьшее подходящее число — 845.

Ответ: а) 125 учащихся; б) 845 учащихся.