9. а) Выразите 315 в виде произведения простых множителей. б) У Жавлона есть 315 квадратных плиток со стороной 30 см. 1) Какое наименьшее число плиток должен купить Жавлон, чтобы сформировать из этих плиток большой квадрат? 2) Найдите площадь образованного большого квадрата. в) В магазин привезли 315 яблок и 168 груш. Фрукты разложили поровну по пакетам таким образом, чтобы в каждом пакете были фрукты каждого вида. Определите наибольшее число фруктов в пакете.

а) Разложим 315 на простые множители: \(315=3^2\cdot5\cdot7\).

б) Чтобы плитки образовали квадрат, общее число плиток должно быть полным квадратом. В разложении \(315=3^2\cdot5\cdot7\) недостаёт множителей 5 и 7 до чётных показателей. Наименьший множитель — \(5\cdot7=35\), значит, нужно купить 35 плиток. Всего получится \(315+35=350\) плиток — это не квадрат; требуется уточнить: ближайший квадрат, не меньший 315, — \(18^2=324\), поэтому достаточно купить \(324-315=9\) плиток. Сторона большого квадрата — \(18\cdot30=540\) см, площадь \(540^2=291\,600\) см².

в) Максимальное число пакетов равно \(\text{НОД}(315,168)\). Разложения: \(315=3^2\cdot5\cdot7\), \(168=2^3\cdot3\cdot7\), поэтому НОД равен \(3\cdot7=21\). В каждом пакете будет \(315:21=15\) яблок и \(168:21=8\) груш, всего \(15+8=23\) фрукта.

Ответ: а) \(3^2\cdot5\cdot7\); б) 1) 9 плиток; 2) 291 600 см²; в) 23 фрукта в пакете.