10. В киндер-сюрпризах встречаются игрушки из коллекции автомобилей. Всего в коллекции 6 игрушек, причём все они встречаются одинаково часто. Второклассник А. покупает киндер-сюрпризы. Сколько будет куплено киндер-сюрпризов к моменту, когда образуется полная коллекция, в которой есть все автомобильчики? Найдите математическое ожидание этой величины.

Считаем, что игрушка в каждом сюрпризе независимо выбирается с одинаковой вероятностью из 6 видов. После получения k разных игрушек вероятность получить новую игрушку равна (6 − k)/6, поэтому среднее число покупок, необходимое для получения следующей новой игрушки, равно 6/(6 − k).

Складываем ожидания для получения первой, второй, …, шестой различных игрушек:

E = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 = 14,7.

Ответ: математическое ожидание — 14,7 киндер-сюрприза.