10. В окружности с центром О АС и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 116°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Задание 10. Углы в окружности

Дано:

• Окружность с центром O.
• AC и BD — диаметры.
• Центральный угол −∠;AOD = 116°.

Найти: вписанный угол −∠;ACB.

Решение:

1. Центральный угол −∠;AOD равен дуге, на которую он опирается, то есть дуге AD. Следовательно, дуга AD = 116°.
2. −∠;AOD и −∠;BOC — вертикальные углы, поэтому −∠;BOC = −∠;AOD = 116°.
3. −∠;AOB и −∠;COD — смежные с −∠;AOD и −∠;BOC соответственно. Сумма смежных углов равна 180°.
4. Найдём −∠;AOB:
   \[ ∠;AOB = 180° - ∠;AOD = 180° - 116° = 64° \]
5. Угол −∠;ACB — вписанный угол, который опирается на дугу AB.
6. Величина дуги AB равна величине центрального угла −∠;AOB, то есть 64°.
7. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:
   \[ ∠;ACB = \frac{1}{2} ∠;AOB = \frac{1}{2} \cdot 64° = 32° \]

Ответ: 32