10. В окружности с центром О АС и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 148°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Центральный угол \( \angle AOD = 148^{\circ} \). Вертикальный ему угол \( \angle BOC = \angle AOD = 148^{\circ} \).

Угол \( \angle COB \) является центральным для вписанного угла \( \angle CAB \), поэтому \( \angle CAB = \frac{1}{2} \angle COB = \frac{1}{2} \cdot 148^{\circ} = 74^{\circ} \).

Диаметры AC и BD пересекаются в центре окружности O. Углы \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные, поэтому \( \angle BOC = 148^{\circ} \).

Угол \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) — смежные с \( \angle AOD \). \( \angle AOB = 180^{\circ} - 148^{\circ} = 32^{\circ} \).

Угол \( \angle AOC \) — развёрнутый, \( 180^{\circ} \). Угол \( \angle BOD \) — развёрнутый, \( 180^{\circ} \).

Вписанный угол \( \angle ACB \) опирается на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, — \( \angle AOB \).

\( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 148^{\circ} = 32^{\circ} \).

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

\( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 32^{\circ} = 16^{\circ} \).

Ответ: 16