15. Расстояние между пристанями А и В равно 75 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и вернулась в А. К этому времени плот прошёл 44 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение:

Пусть \( v_л \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч), \( v_т \) — скорость течения реки (км/ч), \( t \) — время в пути лодки от А до В (ч).

Скорость течения реки \( v_т = 4 \) км/ч.

Расстояние между пристанями А и В равно 75 км.

Движение плота:

Плот движется по течению со скоростью \( v_п = v_т = 4 \) км/ч.

Плот прошёл 44 км. Время в пути плота до момента возвращения лодки в А: \( t_п = \frac{44}{4} = 11 \) часов.

Движение лодки:

Лодка отправилась через 1 час после плота.

Время, которое лодка была в пути: \( t_л = t_п - 1 = 11 - 1 = 10 \) часов.

Скорость лодки по течению: \( v_{л+т} = v_л + v_т = v_л + 4 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v_{л-т} = v_л - v_т = v_л - 4 \) км/ч.

Путь лодки от А до В: \( S_{AB} = 75 \) км.

Время лодки в пути от А до В: \( t_{AB} = \frac{S_{AB}}{v_{л+т}} = \frac{75}{v_л + 4} \).

Путь лодки от В до А: \( S_{BA} = 75 \) км.

Время лодки в пути от В до А: \( t_{BA} = \frac{S_{BA}}{v_{л-т}} = \frac{75}{v_л - 4} \).

Общее время движения лодки: \( t_л = t_{AB} + t_{BA} \).

\( 10 = \frac{75}{v_л + 4} + \frac{75}{v_л - 4} \)

Разделим обе части уравнения на 75:

\( \frac{10}{75} = \frac{1}{v_л + 4} + \frac{1}{v_л - 4} \)

\( \frac{2}{15} = \frac{(v_л - 4) + (v_л + 4)}{(v_л + 4)(v_л - 4)} \)

\( \frac{2}{15} = \frac{2v_л}{v_л^2 - 16} \)

Умножим обе части на \( 15(v_л^2 - 16) \):

\( 2(v_л^2 - 16) = 15(2v_л) \)

\( 2v_л^2 - 32 = 30v_л \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 2v_л^2 - 30v_л - 32 = 0 \)

Разделим на 2:

\( v_л^2 - 15v_л - 16 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 \). \( \sqrt{D} = 17 \).

\( v_{л1} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16 \)

\( v_{л2} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v_л = 16 \) км/ч.

Проверим: Скорость лодки по течению \( 16+4=20 \) км/ч. Время в пути А->В \( \frac{75}{20} = 3.75 \) ч. Скорость лодки против течения \( 16-4=12 \) км/ч. Время в пути В->А \( \frac{75}{12} = 6.25 \) ч. Общее время лодки \( 3.75 + 6.25 = 10 \) ч. Время плота \( 10+1=11 \) ч. Расстояние, пройденное плотом \( 11 x 4 = 44 \) км. Всё сходится.

Ответ: 16