10. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажи, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Пусть \(\vec{AB}=\vec{u}\), а \(\vec{AD}=\vec{v}\). Тогда можно считать, что \(A=0\), \(B=\vec{u}\), \(D=\vec{v}\), \(C=\vec{u}+\vec{v}\).

Так как \(E\) — середина \(AB\), то \(E=\frac{\vec{u}}2\).

Из условия \(EC=ED\):

\[\left|\vec{v}+\frac{\vec{u}}2\right|=\left|\frac{\vec{u}}2-\vec{v}\right|.\]

Возведём обе части в квадрат:

\[\left(\vec{v}+\frac{\vec{u}}2\right)^2=\left(\frac{\vec{u}}2-\vec{v}\right)^2.\]

После раскрытия скобок:

\[\vec{v}^{\,2}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\frac{\vec{u}^{\,2}}4=\frac{\vec{u}^{\,2}}4-\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{\,2}.\]

Следовательно, \(2\vec{u}\cdot\vec{v}=0\), то есть \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Значит, \(AB\perp AD\).

Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.