№ 10. В прямоугольном треугольнике ABC (∠ABC = 90°) BH и BK — высота и медиана, проведённые к гипотенузе (см. рис.). Найдите площадь прямоугольного треугольника ABC, если BK = 10, AH = 4.

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Поэтому AC = 2 · BK = 20.

Найдём второй отрезок гипотенузы: HC = AC − AH = 20 − 4 = 16.

Для высоты, проведённой к гипотенузе, BH² = AH · HC. Значит, BH² = 4 · 16 = 64, откуда BH = 8.

Площадь треугольника равна половине произведения основания AC на высоту BH:

S = (AC · BH)/2 = (20 · 8)/2 = 80.

Ответ: 80 квадратных единиц.