№ 10. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, образует с гипотенузой углы, один из которых на 80° больше другого. Найдите острые углы данного треугольника.

Пусть меньший угол между медианой и гипотенузой равен x°. Второй угол смежный с ним и равен (x + 80)°. Тогда x + (x + 80) = 180, откуда x = 50°. Углы при середине гипотенузы равны 50° и 130°.

Медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника делит его на два равнобедренных треугольника: середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин. Поэтому острые углы исходного треугольника равны половинам разностей 180° с соответствующими углами при середине гипотенузы: (180° − 130°) : 2 = 25° и (180° − 50°) : 2 = 65°.

Ответ: 25° и 65°.