№ 11. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его высота и медиана, проведённые к гипотенузе, образуют угол 30°.

Обозначим через H основание высоты к гипотенузе AB, а через M — её середину. По рисунку M лежит левее H. Пусть AH = x, HB = y, CH = h; тогда x > y.

Из свойства высоты, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, h² = xy. Поскольку M — середина AB, HM = (x − y) / 2. В прямоугольном треугольнике CHM угол HCM равен 30°, поэтому tan 30° = HM / CH = (x − y) / (2h).

Положим t = √(x / y). Тогда h = √(xy), и равенство принимает вид (t − 1/t) / 2 = 1 / √3. Отсюда t − 1/t = 2 / √3, откуда t = √3, то есть x / y = 3.

Для угла A: tan A = CH / AH = h / x = √(y / x) = 1 / √3, значит, ∠A = 30°. Второй острый угол прямоугольного треугольника равен 90° − 30° = 60°.

Ответ: 30° и 60°.