10. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки P и Q так, что PQ ∥ AC. Известно, что BP = 4, PA = 8, PQ = 6. Найдите AC и отношение площадей △BPQ и трапеции APQC.

Так как \(PQ \parallel AC\), треугольники BPQ и BAC подобны.

1. Найдём сторону AB:

   \(AB=BP+PA=4+8=12\).

2. Коэффициент подобия треугольников BPQ и BAC:

   \(\dfrac{BP}{BA}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\).

3. Соответствующие стороны пропорциональны:

   \(\dfrac{PQ}{AC}=\dfrac{1}{3}\), поэтому \(AC=3\cdot 6=18\).

4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

   \(\dfrac{S_{BPQ}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}\).

5. Трапеция APQC составляет оставшуюся часть треугольника ABC:

   \(S_{APQC}=S_{ABC}-S_{BPQ}=\dfrac{8}{9}S_{ABC}\).

Следовательно,

\[\frac{S_{BPQ}}{S_{APQC}}=\frac{1/9}{8/9}=\frac{1}{8}.\]

Ответ: \(AC=18\); \(S_{BPQ}:S_{APQC}=1:8\).