10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 20, tgA= 9/40. Найдите АВ.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике тангенс угла A равен отношению противолежащего катета BC к прилежащему катету AC: \( \text{tg}A = \frac{BC}{AC} \).
2. Мы знаем, что \( \text{tg}A = \frac{9}{40} \) и \( AC = 20 \).
3. Подставим известные значения в формулу: \( \frac{9}{40} = \frac{BC}{20} \).
4. Чтобы найти BC, умножим обе части уравнения на 20: \( BC = \frac{9}{40} \times 20 \).
5. Вычислим: \( BC = \frac{9 \times 20}{40} = \frac{180}{40} = \frac{18}{4} = 4,5 \).
6. Теперь, зная катеты AC и BC, мы можем найти гипотенузу AB по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).
7. Подставим значения: \( AB^2 = 20^2 + (4,5)^2 \).
8. Вычислим: \( AB^2 = 400 + 20,25 = 420,25 \).
9. Извлечём квадратный корень: \( AB = \sqrt{420,25} \).
10. Чтобы извлечь корень из 420,25, можно заметить, что \( 20^2 = 400 \) и \( 21^2 = 441 \). Попробуем \( 20,5 \): \( 20,5^2 = (20+0,5)^2 = 400 + 2 \cdot 20 \cdot 0,5 + 0,25 = 400 + 20 + 0,25 = 420,25 \).
11. Следовательно, \( AB = 20,5 \).

Ответ: 20,5